ISO 5479:1997

NORME
INTERNATIONALE
Première édition
1997-05-I 5
Interprétation statistique des données -
Tests pour les écarts à la distribution
normale
Statistical interpretation of data - Tests for departure from the normal
distribution
Numéro de référence
BS0 5479:1997(F)

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IlSO 5479:1997(F)
Page
Sommaire
................................................................... 1
Domaine d’application
1
.................................................................
Références normatives
......................... 2
Définitions et symboles .
.................................................................................... 3
Généralités
................... 4
....................................................
l’vléthode graphique
........................................................................ 11
Tests directionnels
15
(test multidirectionnel) . . . . . . . . . . . . . . . .
Test conjoint utilisant & et !II~
16
Tests omnibus .
8
.......... 22
9 Test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
24
Tables statistiques .
10
Annexes
......................... 32
A Feuille de papier quadrillé de probabilité normale
33
Références bibliographiques .
B
0 60 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation Internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-l 211 Geneve 20 l Suisse
lnternet central@iso.ch
c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
x.400
Imprimé en Suisse
ii

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ISO 5479:1997(F)
@ ISO
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération
mondiale d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de
I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO
collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale
(CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques
sont soumis aux comités membres pour vote. Leur publication comme
Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des
comités membres votants.
La Norme internationale ISO 5479 a été élaborée par le comité technique
lSO/TC 69, Application des méthodes statistiques, sous-comité SC 6,
Méthodes et résultats de mesure.
Les annexes A et B de la présente Norme internationale sont données
uniquement à titre d’information.
. . .
III

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ISO 5479:1997(F) 0 ISO
Introduction
De nombreuses méthodes statistiques recommandées dans les Normes
internationales, telles que celles qui sont décrites dans I’ISO 2854[‘], sont
fondées sur l’hypothèse que la (les) variable(s) aléatoire(s) à laquelle
(auxquelles) ces méthodes s’appliquent sont distribuées indépendamment
selon une distribution normale avec un ou deux de ses paramètres
inconnus.
La question suivante se pose alors: la distribution représentée par I’échan-
tillon est-elle suffisamment proche de la distribution normale pour que les
méthodes données par ces Normes internationales puissent être valable-
ment utilisées?
II n’y a pas de réponse simple par oui ou non à cette question qui soit
valable dans tous les cas. Pour cette raison, un grand nombre de ((tests de
normalité)) ont été mis au point, dont chacun est plus ou moins sensible à
un aspect particulier de la distribution en cause; par exemple l’asymétrie
ou l’aplatissement.
En général, le test utilisé est conçu pour correspondre à un risque prédé-
terminé a priori que l’hypothèse de normalité est rejetée même si elle est
vraie (erreur de première espèce). D’autre part, la probabilité que cette
hypothèse n’est pas rejetée alors qu’elle n’est pas vraie (erreur de
deuxième espèce) ne peut être déterminée à moins que l’hypothèse
alternative (c’est-à-dire celle qui est opposée à l’hypothèse de normalité)
ne puisse être définie avec précision. Cela n’est pas possible en général et,
de plus, nécessite des calculs complémentaires. Pour un test donné, ce
risque est particulièrement élevé si la taille d’échantillon est faible.

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NORME INTERNATIONALE @ Iso ISO 5479:1997(F)
Interprétation statistique des données - Tests pour les
écarts à la distribution normale
1 Domaine d’application
1.1 La présente Norme internationale donne des lignes directrices concernant des méthodes et des tests utilisés
pour décider s’il convient ou non de rejeter l’hypothèse de distribution normale, en supposant que les observations
sont indépendantes.
1.2 Chaque fois qu’il y a doute sur la normalité de la distribution des observations, l’emploi d’un test d’écart à la
distribution normale peut être utile ou même nécessaire. Cependant, dans le cas de méthodes robustes (c’est-à-
dire où les résultats ne sont que très légèrement modifiés quand la véritable distribution des observations n’est
pas une distribution normale), un test d’écart à la distribution normale n’est pas d’une grande aide. C’est le cas, par
exemple, quand la moyenne d’un échantillon aléatoire unique d’observations doit être comparée à une valeur
théorique donnée en utilisant un test t.
1.3 II n’est pas strictement nécessaire d’utiliser un test chaque fois qu’on se réfère à des méthodes statistiques
fondées sur l’hypothèse de normalité. II est possible qu’il n’existe aucun doute quant à la normalité de la
distribution des observations, soit qu’il y ait des raisons théoriques (par exemple physiques) qui confirment cette
hypothèse, ou parce que cette hypothèse est réputée acceptable selon une information antérieure.
1.4 Les tests d’écart à la distribution normale, sélectionnés dans la présente Norme internationale, sont
principalement destinés à des données complètes, et non à des données groupées. Ils ne sont pas adaptés pour
des données tronquées.
1.5 Les tests d’écart à la distribution normale sélectionnés dans la présente Norme internationale peuvent être
appliqués soit aux valeurs observées ou à des fonctions de celles-ci, telles que le logarithme ou la racine carrée.
1.6 Les tests d’écart à la distribution normale sont très inefficaces pour des échantillons de taille inférieure à huit.
En conséquence, la présente Norme internationale est limitée à des échantillons de taille égale ou supérieure à
huit.
2 Référence normative
La norme suivante contient des dispositions qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent des
dispositions valables pour la présente Norme internationale. Au moment de la publication, l’édition indiquée était en
vigueur. Toute norme est sujette à révision et les parties prenantes des accords fondés sur la présente Norme
internationale sont invitées à rechercher la possibilité d’appliquer l’édition la plus récente de la norme indiquée ci-
après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des Normes internationales en vigueur à un
moment donné.
ISO 3534-l :1993, Statistique - Vocabulaire et symboles - Partie 1: Probabilité et termes statistiques généraux.
1

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@ ISO
3 Définitions et symboles
3.1 Définitions
Pour les besoins de la présente Norme internationale, les définitions données dans NS0 3534-l s’appliquent.
.
32 Symboles
coefficient du test Shapiro-Wilk
ak
A quantité auxiliaire pour le test d’Epps-Pulley
aplatissement empirique
b2
asymétrie empirique
h
Ar
B quantité auxiliaire pour le test d’Epps-Pulley
E espérance mathématique
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
Gj
h nombre d’échantillons successifs
hypothèse nulle
Ho
hypothèse alternative
HI
k dans l’échantillon arrangé en ordre non décroissant, nombre de valeurs x observées
moment centré d’ordre j de l’échantillon
mj
n taille de l’échantillon
probabilité associée au quantile d’ordre p de la distribution
P
P probabilité
probabilité associée à X(k)
Pk
S quantité auxiliaire pour le test de Shapiro-Wilk
T statistique de test
statistique de test d’Epps-Pulley
TEP
quantile d’ordre p de la distribution réduite
UP
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
vj
W statistique de test de Shapiro-Wilk
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
wj
x valeur de X
X variable aléatoire
Oème valeur observée de l’échantillon arrangé en ordre non décroissant
9
kème valeur observée de l’echantillon arrangé en ordre non decroissant
moyenne arithmétique
niveau de signification
2

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@ os0
probabilité de l’erreur de seconde espèce
P
aplatissement de la population
P2
excès de la population
P2 - 3
asymétrie de la population
1
fi
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
Y
coefficient du test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
n
ri)
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
6
coefficient du test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
44
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
E
coefficient du test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
9n)
espérance mathématique
P
moment centré du deuxième ordre (variante) de la population
P2
moment centré du troisième ordre de la population -
P3
moment centré du quatrième ordre de la population
P4
écart-type de la population (= &)
0
4 Généralités
4.1 II y a plusieurs catégories de tests d’écart à la normalité. Dans la présente Norme internationale, sont traitées
les méthodes graphiques, les tests de moments, les tests de régression et les tests de fonction caractéristique.
Les tests de Chi-carré sont appropriés pour des données groupées seulement mais, comme le groupement des
résultats entraîne une perte d’information, ces tests ne sont pas traités dans la présente Norme internationale.
4.2 Si on ne dispose pas d’autre information sur l’échantillon, il est recommandé de faire en premier lieu un
graphique de probabilité normale; c’est-à-dire de reporter la fonction cumulative de distribution des valeurs
observées sur un papier quadrillé de probabilité normale, consistant en un système d’axes de coordonnées où la
fonction cumulative de distribution de la distribution normale est représentée par une droite.
Cette méthode, qui est décrite dans l’article 5, permet de ((voir)) immédiatement si la distribution observée est
proche ou non de la distribution normale. Avec cette information additionnelle, on peut décider s’il est
recommandé d’effectuer un test directionnel, ou de pratiquer soit un test de régression ou un test de fonction
caractéristique, ou aucun test du tout. De plus, bien qu’une telle représentation graphique ne puisse être
considérée comme un test rigoureux, l’information résumée qu’elle apporte est un supplément essentiel à tout
test d’écart à la distribution normale. Dans le cas du rejet de l’hypothèse nulle, il est souvent possible d’envisager
par ce moyen le type d’alternative qui pourrait s’appliquer.
4m3 Un test d’écart à la distribution normale est un test de l’hypothèse nulle selon laquelle l’échantillon est
constitué de n observations indépendantes tirées d’une même distribution normale. II consiste dans le calcul de la
fonction Tdes observations, qui est appelée la statistique du test. L’hypothèse nulle d’une distribution normale est
alors rejetée ou non selon que la valeur de T se trouve ou non dans un intervalle de valeurs proches de la valeur
attendue qui correspond à la distribution normale.
3

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Q ISO
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4.4 La région critique du test est l’ensemble des valeurs de T qui conduisent au rejet de I’hypothese nulle. Le
niveau de signification du test est la probabilité p d’obtenir une valeur de T dans la région critique quand
l’hypothèse nulle est correcte. Ce niveau donne la probabilite de rejeter de façon erronée l’hypothèse nulle (erreur
de premier-e espèce).
La limite de la région critique est (ou, dans le cas d’un test bilatéral, les limites de la région critique sont) la (les)
valeur(s) critique(s) de la statistique du test.
4.5 La puissance du test est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle quand elle n’est pas vérifiée. Une
puissance élevée donne une faible probabilité de ne pas rejeter l’hypothèse nulle de façon erronée (erreur de
deuxième espèce).
II convient de souligner que la puissance d’un test (c’est-à-dire pour une situation donnée, la probabilité que
l’hypothèse nulle d’une distribution normale sera rejetée si elle est fausse) augmente si le nombre d’observations
augmente. Par exemple, un écart à la distribution normale qui deviendrait apparent quand on utilise un test d’écart
à la distribution normale sur un échantillon important pourrait ne pas être détecté par le même test s’il y avait
moins d’observations.
4.6 Une distinction est faite entre deux catégories de tests d’écart à la distribution normale. Quand la forme de
l’écart à la distribution normale est spécifiée dans l’hypothèse alternative, le test est alors un test directionnel.
Cependant, quand la forme de l’écart à la distribution normale n’est pas spécifiée dans l’hypothèse alternative, le
test est un test omnibus.
Dans un test directionnel, la région critique est déterminée d’une façon telle que la puissance du test atteigne sa
valeur maximale. Dans un test omnibus, il est nécessaire de diviser la région critique de façon telle que la région
critique soit constituée des valeurs de la statistique de test qui sont éloignées de la valeur attendue.
S’il y a des suppositions sur le type d’écart à la distribution normale, c’est-à-dire quand on envisage une distribution
dont l’asymétrie ou l’aplatissement diffère de celui (celle) de la distribution normale, il convient d’appliquer un test
directionnel, parce que sa puissance est plus grande que celle d’un test omnibus.
4.7 II est à noter qu’un test directionnel est par essence unilatéral. Dans le cas d’asymétrie, par exemple, il est
centré soit sur l’asymétrie positive, soit par l’asymétrie négative. Cependant, lorsque l’on considère de façon
conjointe plusieurs alternatives, le test est multidirectionnel. C’est le cas, en particulier, quand une asymétrie non
nulle et un aplatissement diffèrent de celui de la distribution normale sont considérés conjointement.
4.8 Les tables 8 à 14 et la figure 9 permettent de pratiquer les tests pour les niveaux les pius usuels de a, c’est-à-
dire a = 0,05 et a = 0,Ol. II faut spécifier le niveau de signification avant de pratiquer le test. À noter, qu’un test
peut conduire au rejet de l’hypothèse nulle au niveau 0,05 et au non-rejet de cette même hypothèse au niveau
0,Ol.
4.9 Au cours du calcul électronique des statistiques de test, il est nécessaire d’utiliser au moins 6 chiffres
significatifs. Les sous-totaux, résultats intermédiaires et quantités auxiliaires ne doivent pas être arrondis à moins
de 6 chiffres significatifs.
5 Méthode graphique
5.1 La fonction cumulative de distribution des valeurs observées est reportée sur un papier quadrillé de
probabilité normale. Sur ce papier, l’un des axes (dans la présente Norme internationale, l’axe vertical) est à une
échelle non linéaire selon l’aire au-dessous de la distribution normale réduite et est coté avec les valeurs
correspondantes de la fréquence relative cumulée. L’autre axe a une échelle linéaire pour les valeurs ordonnées de
X0 La fonction cumulative de distribution de la variable X est alors representée de façon approximative par une ligne
droite.
Parfois les deux axes sont échangés. De plus, si une transformation norma lisante de l a variable X est faite,
e linéaire p eut êt re re mplacée pa
I’échell une éche Ile Poga ithmique, quadratique, récipro Ique ou autre.

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@ ISO ISO 5479:1997(F)
La figure 1 donne un exemple du papier quadrillé de probabilité normale. Sur l’axe vertical, les valeurs de la
fréquence relative cumulée sont données en pourcentage, tandis que l’axe horizontal a une échelle linéaire
arbitraire.
Une feuille vierge du papier quadrillé de probabilité normale est fournie en annexe A.
Si un graphique sur ce papier présente un ensemble de points qui semblent dispersés autour d’une ligne droite,
ceci fournit un argument grossier en faveur de l’hypothèse que l’échantillon peut être raisonnablement considéré
comme provenant d’une distribution normale.
s’il y a un écart systématique par rapport à la ligne droite, le graphique suggère
Cependant, souvent le type de
distribution à prendre en considération.
L’importance de cette approche est qu’elle fournit aisément une information visuelle sur le type d’écart à la
distribution normale.
Si le graphique indique que les données proviennent d’une distribution déformée (par exemple si le graphique de la
fonction cumulative de distribution est tel que sur la figure 5 ou 6), une transformation des données peut conduire
à une distribution normale.
Si le graphique indique que les données ne proviennent pas d’une simple distribution homogène, mais plutôt d’un
mélange de deux sous-populations homogènes ou plus (par exemple si le graphique de la fonction cumulative de
distribution est tel que sur la figure 7), il est recommandé d’identifier ces sous-populations et de poursuivre
l’analyse séparément sur chaque sous-population.
II convient de garder présent à l’esprit le fait qu’un tel graphique n’est en aucune façon un test d’écart à la
distribution normale au sens strict. Dans le cas de petits échantillons, une courbure prononcée peut se rencontrer
pour des populations normales, tandis que pour de grands échantillons, une faible courbure peut indiquer des
distributions non normales.
5.2 La procédure graphique consiste à arranger les valeurs observées x(,,)] en ordre non décroissant,
b(l), X(2)1 l **t
et à reporter
pk = (k - 3/8)/(n + 1/4) . . .
(1)
en fonction de x(k) sur un papier quadrillé de probabilité normale.
NOTE 1 Des alternatives communément utilisées à la place de l’équation (1) sont
Pk = (k - l/Z)/n
Pk = k/(n + 1)
Ce sont des approximations m oins bonnes que la fonction de distrib ution n ormale de la statistiq ue usuelle, F [ , et leur
E(Q) 1
emploi n’est pas recommandé.
53 . Un exemple d’utilisation du papier quadrillé de probabilité normale est représenté à la figure 2.

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SI YY,YY
3
5
U
99,9
QI
>
i-
99,0
c
m
G
i 99
5 98
c 95
90
80
70
60
SO
40
30
20
10
5
2
1
os
02
O,l
0,os
-
0,Ol
’ ’ 1 ” ” i ” ” i ” ” i ’ ’ ” i ” ’ ‘,i ‘l I I I I I I-
0 1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 Il 12 x 0 1 1s 2 lg (10 XI
a) b)

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@ ISO
ISO 5479:1997(F)
La table 1 montre les valeurs x(k) en ordre non décroissant du résultat d’une série de 15 essais indépendants de
fatigue sous flexion rotative.
Table 1 - Résultats x(k) d’une série de 15 essais de fatigue en flexion rotative
et valeurs correspondantes de Ig (10 x(k))
10 0,631 1,710 1,233
II 0,697 2,220 1,346
12 0,762 2,275 1,357
13 0,828 3,650 1,562
14 0,893 1,845
7,000
15 0,959 8,800 1,944
NOTE 2 Dans la table 1 et les exemples suivants, on a omis les unit& des observations parce qu’elles ne sont pas
concernkes par les tests de la présente Norme internationale.
En associant la probabilité
Pk = (k - 3/8)/(n + 1/4)
valeur x(k), on obtient la série de points indiquée sur la figure 2a). On voit immédiatement sur ce graphique
à la kème
que ces points ne sont pas alignés. Cependant, si x(k) est remplacé par Ig (10 x(k)), le nouveau graphique [figure 2b)]
conduit a une série de points qui, cette fois, se tiennent raisonnablement près d’une ligne droite.
L’hypothèse d’une distribution normale du logarithme des observations semble donc adéquate.
5.4 II convient de noter le fait que les valeurs observées extrêmes ont une variante plus grande que les valeurs
du milieu. Par conséquent, et comme l’échelle de fréquence relative cumulée s’agrandit vers les extrêmes,
quelques valeurs a chaque extrémité de la distribution cumulative qui sont distinctement en dehors de la ligne
droite définie par les valeurs du milieu ne peuvent être considérées comme des indicateurs d’un écart à la
distribution normale.
Plus la taille de l’échantillon est élevée, plus fiables sont les conclusions qu’on peut déduire de la forme du graphique.
Si le graphique de la fonction cumulative de distribution des valeurs observées est tel que les grandes valeurs
tendent à être nettement au-dessous de la ligne droite définie par les autres valeurs, une transformation telle que
conduira en général à un graphique plus proche d’une ligne droite [voir les figures 2b) et 51.
Les parties supérieures des figures 3 à 7 montrent la fonction cumulative de distribution comparée à la fonction de
densité correspondante présentée dans la partie inférïeure de chaque figure.
8

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@ ISO
Si le graphique de la fonction cumulative de distribution des valeurs observées est tel que celui représenté à la
figure 3 ou 4, la distribution de fréquence correspondante est respectivement un aplatissement en défaut
(platikurtique) ou un aplatissement en excès (leptocurtique).
Les graphiques des fonctions cumulatives de distribution des figures 5 et 6 correspondent à une fonction de
densité à asymétrie respectivement positive et négative.
La figure 7 montre la fonction cumulative de distribution et la fonction de densité de la superposition de deux
fonctions de densité différentes.
8 8
ai ai
a a
2 98 2 98
3
3
U U
:
>f
.-
.-
c t
; a4 ; a4
IL L
QI
c
3
g 5o
lk
16 16
Figure 3 - Fonction de densité avec Figure 4 - Fonction de densité avec
aplatissement en défaut aplatissement en excès

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8
8
ai
aJ ai
QJ
2 98
2 98
II
u 3
U
z
.-
:
t
.-
c
z a4
2 04
c
c
aJ
u
u
6
k
,; 50
,$ 50
G
t
16
16
2
2
Figure 5 -
Fonction de densité avec asymétrie
Figure 6 -
Fonction de densité avec asymétrie
positive
négative
10

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@ ISO
8
m
2
2 98
3
U
F
.-
t
; 84
L
a
U
ii
,$ 50
t
16
2
Figure 7 - Superposition de deux fonctions
de densité différentes
6 Tests directionnek
6.1 Généralités
6.1.1 Les tests directionnels considérés ici concernent uniquement les caractéristiques d’asymétrie ou
d’aplatissement de la distribution des observations. Ils sont fondés sur le fait que dans le cas d’une variable
= E(X), le moment centré du troisième ordre est
aléatoire normale X de moyenne p
p3 = E[(~+L)~] = 0 . . .
(2)
le moment centré réduit du troisième ordre est
. . .
(3)
et le moment centré réduit du quatrième ordre est
. . .
(4)
p2 = p4b22 = 3
ou
. . .
p2=EI(X - PI21 (51
. . .
p4=E[(X-p)4B 6)
11

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est l’asymétrie de la population et peut être superieure, égale ou inférieure a zero;
1
IF
est l’aplatissement de la population et est toujours positive;
P2
p2 - 3 est l’excès de la population;
+l est toujours exacte.
l’inégalité p2 2 (Jp;)2
6.1.2 Dans un test d’asymétrie, l’hypothèse alternative est soit:
HI : p3 > 0
ou de façon équivalente,
qui signifie une asymétrie positive (voir figure 5), ou
ou de façon équivalente,
1 Jp
qui signifie une asymétrie négative (voir figure 6).
En général, une distribution a asymétrie positive a une dispersion plus élevée pour les valeurs élevées de la
variable que pour les valeurs basses; le cas de l’asymétrie négative est l’inverse.
6.1.3 Dans un test d’aplatissement, l’hypothèse alternative est soit
HI$~> 3
qui signifie un aplatissement en excès (fonction de densité leptocurtique) (voir figure 4), ou
qui signifie un aplatissement en défaut (fonction de densité platicurtique) (voir figure 3).
Comparée à la distribution normale, une distribution à aplatissement en excès tend à avoir une prépondérance de
valeurs de la variable proches à la fois de la moyenne et des deux extrêmes. Le cas d’un aplatissement en défaut
est l’inverse.
6.1.$ L’emploi d’un test directionnel ne se justifie que lorsqu’on dispose d’une information spécifique sur la façon
dont la distribution reelle peut différer de la distribution normale. Cette information peut provenir de la nature
physique des données ou de la nature de la perturbation qui peut affecter le processus générateur.
Par exemple, le fait qu’une variable soit non négative, avec une moyenne proche de zéro par rapport à la valeur de
l’écart-type, peut être une raison physique de l’asymétrie positive de la distribution réelle. De même, toute
perturbation dans un processus générateur qui produit un mélange de populations normales de même moyenne
mais de variantes différentes conduit à une distribution non normale avec p2 > 3.
6.1.5 Dans tous les cas, il convient que le choix d’un test directionnel soit fondé sur des considérations générales
sur la nature des observations ou du processus qui les produit et non sur la forme particulière de la distribution des
valeurs observées. Dans ce dernier cas, seul le résultat d’un test omnibus peut être considéré comme objectif.

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6.1.6 Si XI, x2, . . . . xn désignent la série des observations, alors:
. . .
(7)
1
- $
=-
. . .
Cxj (8)
"i n
c
i
avec j = 2, 3,4
et les statistiques de test pour l’asymétrie et l’aplatissement respectivement sont les quantités.
m3
=-
. . .
(9)
bl
lr
312
m2
et
m4
=-
. . .
(10)
b2
2
m2
6.2 Test directionnel d’asymétrie utilisant &
Ce test est applicable pour ~1 3 8; cependant, pour des raisons pratiques, la table 8 est limitée à I-Z G 5000.
Si l’hypothèse alternative consiste en une asymétrie positive, il convient que le test ne soit conduit que si m3 > 0.
D’autre part, si l’hypothèse alternative consiste en une asymétrie négative, il convient que le test ne soit conduit
que si n-23 < 0.
Dans les deux cas d’asymétrie, la conclusion est en faveur du rejet de l’hypothèse nulle au niveau de signification a
si la statistique I&i excède le quantile d’ordre p avec p = 1- a.
La table 8 montre pour cette statistique de test le quantile d’ordre p pour p = l- a où a = 0,05 et a = 0,Ol
et pour les tailles d’échantillon YI =
8( 1)10,12,15(5)50(10)100(25)200(50)1000(200)2000(500)5000.
EXEMPLE 1
Un exemple d’emploi du test directionnel
pour l’asymétrie utilisant Jbi est le suivant. La table 2 donne 50
mesures indépendantes de la profondeur de l’aubier dans des pièces de bois destinées à leur utilisation comme
poteaux télégraphiques. Comme la profondeur de l’aubier est une caractéristique avec des valeurs qui sont
essentiellement non négatives voisines de zéro, on peut supposer une asymétrie positive. II est donc nécessaire
de pratiquer le test directionnel approprié avec l’hypothèse alternative
Ainsi, on tire des valeurs observées de la table 2:
‘- (1,25 + 1,35 + o.o -R- 5,10)/50 = 2,873
2
= [(If25 - 2,873)2 -e . . . + (5,lO- 2,873)2]/50 = 0,937 921
rn2
= [(1,25 - 2,873)3 + . . .
+ (5,lO - 2,873)3]/50 = 0,254 559
m3
13

---------------------- Page: 16 ----------------------
ISO 5479:1997(F)
D’où
m3
= 3/2 = 0,280
bl
Jr
m2
1 - a = 0,95, et IZ = 50, la valeur critique de la statistique
Pour le niveau de signification a = 0,05, c’est-à-dire p =
du test est 0,53 (voir table 8). Cette valeur est supérieure à la valeur calculée I&i; ainsi, l’hypothèse nulle d’une
distribution normale ne peut être rejetée au niveau de signification choisi.
Table 2 - Profondeur de l’aubier
2,40 3,00 3,80 4,70
1,85
1,95 2,55 3,05 3,90 5,lO
NOTE - Série arrangée selon les valeurs non
décroissantes de 50 observations.
6.3 Test directionnel d’aplatissement utilisant b2
Ce test est applicable pour ~2 a 8; cependant, pour des raisons pratiques, la table 9 est limitée à yt 6 5 000.
Dans un test d’aplatissement en excès, l’hypothèse alternative est:
HI: & > 3
L’hypothèse nulle devra être rejetée au niveau de signification prédéterminé de, par exemple, a = 0,05 ou O,Ol, si
la valeur calculée &2 excède la valeur critique de la statistique du test correspondant au quantile d’ordre p pour
p= 1 -a=0,95oup= 1 - a = 0,99 et pour la taille yt de l’échantillon.
Dans un test d’aplatissement en défaut, l’hypothèse alternative est
HI: p2 < 3
L’hypothèse nulle devra être rejetée au niveau de signification prédéterminée de, par exemple, a = 0,05 ou 0,Ol si
la valeur calculée &2 est inférieure à la valeur critique de la statistique de test correspondant au quantile d’ordre p
=0,05oup=a= 0,Ol et pour la taille ~1 de l’échant
...

NORME
INTERNATIONALE
Première édition
1997-05-I 5
Interprétation statistique des données -
Tests pour les écarts à la distribution
normale
Statistical interpretation of data - Tests for departure from the normal
distribution
Numéro de référence
BS0 5479:1997(F)

---------------------- Page: 1 ----------------------
IlSO 5479:1997(F)
Page
Sommaire
................................................................... 1
Domaine d’application
1
.................................................................
Références normatives
......................... 2
Définitions et symboles .
.................................................................................... 3
Généralités
................... 4
....................................................
l’vléthode graphique
........................................................................ 11
Tests directionnels
15
(test multidirectionnel) . . . . . . . . . . . . . . . .
Test conjoint utilisant & et !II~
16
Tests omnibus .
8
.......... 22
9 Test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
24
Tables statistiques .
10
Annexes
......................... 32
A Feuille de papier quadrillé de probabilité normale
33
Références bibliographiques .
B
0 60 1997
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation Internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-l 211 Geneve 20 l Suisse
lnternet central@iso.ch
c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
x.400
Imprimé en Suisse
ii

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ISO 5479:1997(F)
@ ISO
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération
mondiale d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de
I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO
collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale
(CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques
sont soumis aux comités membres pour vote. Leur publication comme
Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des
comités membres votants.
La Norme internationale ISO 5479 a été élaborée par le comité technique
lSO/TC 69, Application des méthodes statistiques, sous-comité SC 6,
Méthodes et résultats de mesure.
Les annexes A et B de la présente Norme internationale sont données
uniquement à titre d’information.
. . .
III

---------------------- Page: 3 ----------------------
ISO 5479:1997(F) 0 ISO
Introduction
De nombreuses méthodes statistiques recommandées dans les Normes
internationales, telles que celles qui sont décrites dans I’ISO 2854[‘], sont
fondées sur l’hypothèse que la (les) variable(s) aléatoire(s) à laquelle
(auxquelles) ces méthodes s’appliquent sont distribuées indépendamment
selon une distribution normale avec un ou deux de ses paramètres
inconnus.
La question suivante se pose alors: la distribution représentée par I’échan-
tillon est-elle suffisamment proche de la distribution normale pour que les
méthodes données par ces Normes internationales puissent être valable-
ment utilisées?
II n’y a pas de réponse simple par oui ou non à cette question qui soit
valable dans tous les cas. Pour cette raison, un grand nombre de ((tests de
normalité)) ont été mis au point, dont chacun est plus ou moins sensible à
un aspect particulier de la distribution en cause; par exemple l’asymétrie
ou l’aplatissement.
En général, le test utilisé est conçu pour correspondre à un risque prédé-
terminé a priori que l’hypothèse de normalité est rejetée même si elle est
vraie (erreur de première espèce). D’autre part, la probabilité que cette
hypothèse n’est pas rejetée alors qu’elle n’est pas vraie (erreur de
deuxième espèce) ne peut être déterminée à moins que l’hypothèse
alternative (c’est-à-dire celle qui est opposée à l’hypothèse de normalité)
ne puisse être définie avec précision. Cela n’est pas possible en général et,
de plus, nécessite des calculs complémentaires. Pour un test donné, ce
risque est particulièrement élevé si la taille d’échantillon est faible.

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NORME INTERNATIONALE @ Iso ISO 5479:1997(F)
Interprétation statistique des données - Tests pour les
écarts à la distribution normale
1 Domaine d’application
1.1 La présente Norme internationale donne des lignes directrices concernant des méthodes et des tests utilisés
pour décider s’il convient ou non de rejeter l’hypothèse de distribution normale, en supposant que les observations
sont indépendantes.
1.2 Chaque fois qu’il y a doute sur la normalité de la distribution des observations, l’emploi d’un test d’écart à la
distribution normale peut être utile ou même nécessaire. Cependant, dans le cas de méthodes robustes (c’est-à-
dire où les résultats ne sont que très légèrement modifiés quand la véritable distribution des observations n’est
pas une distribution normale), un test d’écart à la distribution normale n’est pas d’une grande aide. C’est le cas, par
exemple, quand la moyenne d’un échantillon aléatoire unique d’observations doit être comparée à une valeur
théorique donnée en utilisant un test t.
1.3 II n’est pas strictement nécessaire d’utiliser un test chaque fois qu’on se réfère à des méthodes statistiques
fondées sur l’hypothèse de normalité. II est possible qu’il n’existe aucun doute quant à la normalité de la
distribution des observations, soit qu’il y ait des raisons théoriques (par exemple physiques) qui confirment cette
hypothèse, ou parce que cette hypothèse est réputée acceptable selon une information antérieure.
1.4 Les tests d’écart à la distribution normale, sélectionnés dans la présente Norme internationale, sont
principalement destinés à des données complètes, et non à des données groupées. Ils ne sont pas adaptés pour
des données tronquées.
1.5 Les tests d’écart à la distribution normale sélectionnés dans la présente Norme internationale peuvent être
appliqués soit aux valeurs observées ou à des fonctions de celles-ci, telles que le logarithme ou la racine carrée.
1.6 Les tests d’écart à la distribution normale sont très inefficaces pour des échantillons de taille inférieure à huit.
En conséquence, la présente Norme internationale est limitée à des échantillons de taille égale ou supérieure à
huit.
2 Référence normative
La norme suivante contient des dispositions qui, par suite de la référence qui en est faite, constituent des
dispositions valables pour la présente Norme internationale. Au moment de la publication, l’édition indiquée était en
vigueur. Toute norme est sujette à révision et les parties prenantes des accords fondés sur la présente Norme
internationale sont invitées à rechercher la possibilité d’appliquer l’édition la plus récente de la norme indiquée ci-
après. Les membres de la CEI et de I’ISO possèdent le registre des Normes internationales en vigueur à un
moment donné.
ISO 3534-l :1993, Statistique - Vocabulaire et symboles - Partie 1: Probabilité et termes statistiques généraux.
1

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ISO 5479:1997(F)
@ ISO
3 Définitions et symboles
3.1 Définitions
Pour les besoins de la présente Norme internationale, les définitions données dans NS0 3534-l s’appliquent.
.
32 Symboles
coefficient du test Shapiro-Wilk
ak
A quantité auxiliaire pour le test d’Epps-Pulley
aplatissement empirique
b2
asymétrie empirique
h
Ar
B quantité auxiliaire pour le test d’Epps-Pulley
E espérance mathématique
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
Gj
h nombre d’échantillons successifs
hypothèse nulle
Ho
hypothèse alternative
HI
k dans l’échantillon arrangé en ordre non décroissant, nombre de valeurs x observées
moment centré d’ordre j de l’échantillon
mj
n taille de l’échantillon
probabilité associée au quantile d’ordre p de la distribution
P
P probabilité
probabilité associée à X(k)
Pk
S quantité auxiliaire pour le test de Shapiro-Wilk
T statistique de test
statistique de test d’Epps-Pulley
TEP
quantile d’ordre p de la distribution réduite
UP
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
vj
W statistique de test de Shapiro-Wilk
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
wj
x valeur de X
X variable aléatoire
Oème valeur observée de l’échantillon arrangé en ordre non décroissant
9
kème valeur observée de l’echantillon arrangé en ordre non decroissant
moyenne arithmétique
niveau de signification
2

---------------------- Page: 6 ----------------------
ISO 5479:1997(F)
@ os0
probabilité de l’erreur de seconde espèce
P
aplatissement de la population
P2
excès de la population
P2 - 3
asymétrie de la population
1
fi
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
Y
coefficient du test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
n
ri)
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
6
coefficient du test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
44
quantité auxiliaire pour le test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
E
coefficient du test conjoint utilisant plusieurs échantillons indépendants
9n)
espérance mathématique
P
moment centré du deuxième ordre (variante) de la population
P2
moment centré du troisième ordre de la population -
P3
moment centré du quatrième ordre de la population
P4
écart-type de la population (= &)
0
4 Généralités
4.1 II y a plusieurs catégories de tests d’écart à la normalité. Dans la présente Norme internationale, sont traitées
les méthodes graphiques, les tests de moments, les tests de régression et les tests de fonction caractéristique.
Les tests de Chi-carré sont appropriés pour des données groupées seulement mais, comme le groupement des
résultats entraîne une perte d’information, ces tests ne sont pas traités dans la présente Norme internationale.
4.2 Si on ne dispose pas d’autre information sur l’échantillon, il est recommandé de faire en premier lieu un
graphique de probabilité normale; c’est-à-dire de reporter la fonction cumulative de distribution des valeurs
observées sur un papier quadrillé de probabilité normale, consistant en un système d’axes de coordonnées où la
fonction cumulative de distribution de la distribution normale est représentée par une droite.
Cette méthode, qui est décrite dans l’article 5, permet de ((voir)) immédiatement si la distribution observée est
proche ou non de la distribution normale. Avec cette information additionnelle, on peut décider s’il est
recommandé d’effectuer un test directionnel, ou de pratiquer soit un test de régression ou un test de fonction
caractéristique, ou aucun test du tout. De plus, bien qu’une telle représentation graphique ne puisse être
considérée comme un test rigoureux, l’information résumée qu’elle apporte est un supplément essentiel à tout
test d’écart à la distribution normale. Dans le cas du rejet de l’hypothèse nulle, il est souvent possible d’envisager
par ce moyen le type d’alternative qui pourrait s’appliquer.
4m3 Un test d’écart à la distribution normale est un test de l’hypothèse nulle selon laquelle l’échantillon est
constitué de n observations indépendantes tirées d’une même distribution normale. II consiste dans le calcul de la
fonction Tdes observations, qui est appelée la statistique du test. L’hypothèse nulle d’une distribution normale est
alors rejetée ou non selon que la valeur de T se trouve ou non dans un intervalle de valeurs proches de la valeur
attendue qui correspond à la distribution normale.
3

---------------------- Page: 7 ----------------------
Q ISO
ISO 5479:1997(F)
4.4 La région critique du test est l’ensemble des valeurs de T qui conduisent au rejet de I’hypothese nulle. Le
niveau de signification du test est la probabilité p d’obtenir une valeur de T dans la région critique quand
l’hypothèse nulle est correcte. Ce niveau donne la probabilite de rejeter de façon erronée l’hypothèse nulle (erreur
de premier-e espèce).
La limite de la région critique est (ou, dans le cas d’un test bilatéral, les limites de la région critique sont) la (les)
valeur(s) critique(s) de la statistique du test.
4.5 La puissance du test est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle quand elle n’est pas vérifiée. Une
puissance élevée donne une faible probabilité de ne pas rejeter l’hypothèse nulle de façon erronée (erreur de
deuxième espèce).
II convient de souligner que la puissance d’un test (c’est-à-dire pour une situation donnée, la probabilité que
l’hypothèse nulle d’une distribution normale sera rejetée si elle est fausse) augmente si le nombre d’observations
augmente. Par exemple, un écart à la distribution normale qui deviendrait apparent quand on utilise un test d’écart
à la distribution normale sur un échantillon important pourrait ne pas être détecté par le même test s’il y avait
moins d’observations.
4.6 Une distinction est faite entre deux catégories de tests d’écart à la distribution normale. Quand la forme de
l’écart à la distribution normale est spécifiée dans l’hypothèse alternative, le test est alors un test directionnel.
Cependant, quand la forme de l’écart à la distribution normale n’est pas spécifiée dans l’hypothèse alternative, le
test est un test omnibus.
Dans un test directionnel, la région critique est déterminée d’une façon telle que la puissance du test atteigne sa
valeur maximale. Dans un test omnibus, il est nécessaire de diviser la région critique de façon telle que la région
critique soit constituée des valeurs de la statistique de test qui sont éloignées de la valeur attendue.
S’il y a des suppositions sur le type d’écart à la distribution normale, c’est-à-dire quand on envisage une distribution
dont l’asymétrie ou l’aplatissement diffère de celui (celle) de la distribution normale, il convient d’appliquer un test
directionnel, parce que sa puissance est plus grande que celle d’un test omnibus.
4.7 II est à noter qu’un test directionnel est par essence unilatéral. Dans le cas d’asymétrie, par exemple, il est
centré soit sur l’asymétrie positive, soit par l’asymétrie négative. Cependant, lorsque l’on considère de façon
conjointe plusieurs alternatives, le test est multidirectionnel. C’est le cas, en particulier, quand une asymétrie non
nulle et un aplatissement diffèrent de celui de la distribution normale sont considérés conjointement.
4.8 Les tables 8 à 14 et la figure 9 permettent de pratiquer les tests pour les niveaux les pius usuels de a, c’est-à-
dire a = 0,05 et a = 0,Ol. II faut spécifier le niveau de signification avant de pratiquer le test. À noter, qu’un test
peut conduire au rejet de l’hypothèse nulle au niveau 0,05 et au non-rejet de cette même hypothèse au niveau
0,Ol.
4.9 Au cours du calcul électronique des statistiques de test, il est nécessaire d’utiliser au moins 6 chiffres
significatifs. Les sous-totaux, résultats intermédiaires et quantités auxiliaires ne doivent pas être arrondis à moins
de 6 chiffres significatifs.
5 Méthode graphique
5.1 La fonction cumulative de distribution des valeurs observées est reportée sur un papier quadrillé de
probabilité normale. Sur ce papier, l’un des axes (dans la présente Norme internationale, l’axe vertical) est à une
échelle non linéaire selon l’aire au-dessous de la distribution normale réduite et est coté avec les valeurs
correspondantes de la fréquence relative cumulée. L’autre axe a une échelle linéaire pour les valeurs ordonnées de
X0 La fonction cumulative de distribution de la variable X est alors representée de façon approximative par une ligne
droite.
Parfois les deux axes sont échangés. De plus, si une transformation norma lisante de l a variable X est faite,
e linéaire p eut êt re re mplacée pa
I’échell une éche Ile Poga ithmique, quadratique, récipro Ique ou autre.

---------------------- Page: 8 ----------------------
@ ISO ISO 5479:1997(F)
La figure 1 donne un exemple du papier quadrillé de probabilité normale. Sur l’axe vertical, les valeurs de la
fréquence relative cumulée sont données en pourcentage, tandis que l’axe horizontal a une échelle linéaire
arbitraire.
Une feuille vierge du papier quadrillé de probabilité normale est fournie en annexe A.
Si un graphique sur ce papier présente un ensemble de points qui semblent dispersés autour d’une ligne droite,
ceci fournit un argument grossier en faveur de l’hypothèse que l’échantillon peut être raisonnablement considéré
comme provenant d’une distribution normale.
s’il y a un écart systématique par rapport à la ligne droite, le graphique suggère
Cependant, souvent le type de
distribution à prendre en considération.
L’importance de cette approche est qu’elle fournit aisément une information visuelle sur le type d’écart à la
distribution normale.
Si le graphique indique que les données proviennent d’une distribution déformée (par exemple si le graphique de la
fonction cumulative de distribution est tel que sur la figure 5 ou 6), une transformation des données peut conduire
à une distribution normale.
Si le graphique indique que les données ne proviennent pas d’une simple distribution homogène, mais plutôt d’un
mélange de deux sous-populations homogènes ou plus (par exemple si le graphique de la fonction cumulative de
distribution est tel que sur la figure 7), il est recommandé d’identifier ces sous-populations et de poursuivre
l’analyse séparément sur chaque sous-population.
II convient de garder présent à l’esprit le fait qu’un tel graphique n’est en aucune façon un test d’écart à la
distribution normale au sens strict. Dans le cas de petits échantillons, une courbure prononcée peut se rencontrer
pour des populations normales, tandis que pour de grands échantillons, une faible courbure peut indiquer des
distributions non normales.
5.2 La procédure graphique consiste à arranger les valeurs observées x(,,)] en ordre non décroissant,
b(l), X(2)1 l **t
et à reporter
pk = (k - 3/8)/(n + 1/4) . . .
(1)
en fonction de x(k) sur un papier quadrillé de probabilité normale.
NOTE 1 Des alternatives communément utilisées à la place de l’équation (1) sont
Pk = (k - l/Z)/n
Pk = k/(n + 1)
Ce sont des approximations m oins bonnes que la fonction de distrib ution n ormale de la statistiq ue usuelle, F [ , et leur
E(Q) 1
emploi n’est pas recommandé.
53 . Un exemple d’utilisation du papier quadrillé de probabilité normale est représenté à la figure 2.

---------------------- Page: 9 ----------------------
SI YY,YY
3
5
U
99,9
QI
>
i-
99,0
c
m
G
i 99
5 98
c 95
90
80
70
60
SO
40
30
20
10
5
2
1
os
02
O,l
0,os
-
0,Ol
’ ’ 1 ” ” i ” ” i ” ” i ’ ’ ” i ” ’ ‘,i ‘l I I I I I I-
0 1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 Il 12 x 0 1 1s 2 lg (10 XI
a) b)

---------------------- Page: 10 ----------------------
@ ISO
ISO 5479:1997(F)
La table 1 montre les valeurs x(k) en ordre non décroissant du résultat d’une série de 15 essais indépendants de
fatigue sous flexion rotative.
Table 1 - Résultats x(k) d’une série de 15 essais de fatigue en flexion rotative
et valeurs correspondantes de Ig (10 x(k))
10 0,631 1,710 1,233
II 0,697 2,220 1,346
12 0,762 2,275 1,357
13 0,828 3,650 1,562
14 0,893 1,845
7,000
15 0,959 8,800 1,944
NOTE 2 Dans la table 1 et les exemples suivants, on a omis les unit& des observations parce qu’elles ne sont pas
concernkes par les tests de la présente Norme internationale.
En associant la probabilité
Pk = (k - 3/8)/(n + 1/4)
valeur x(k), on obtient la série de points indiquée sur la figure 2a). On voit immédiatement sur ce graphique
à la kème
que ces points ne sont pas alignés. Cependant, si x(k) est remplacé par Ig (10 x(k)), le nouveau graphique [figure 2b)]
conduit a une série de points qui, cette fois, se tiennent raisonnablement près d’une ligne droite.
L’hypothèse d’une distribution normale du logarithme des observations semble donc adéquate.
5.4 II convient de noter le fait que les valeurs observées extrêmes ont une variante plus grande que les valeurs
du milieu. Par conséquent, et comme l’échelle de fréquence relative cumulée s’agrandit vers les extrêmes,
quelques valeurs a chaque extrémité de la distribution cumulative qui sont distinctement en dehors de la ligne
droite définie par les valeurs du milieu ne peuvent être considérées comme des indicateurs d’un écart à la
distribution normale.
Plus la taille de l’échantillon est élevée, plus fiables sont les conclusions qu’on peut déduire de la forme du graphique.
Si le graphique de la fonction cumulative de distribution des valeurs observées est tel que les grandes valeurs
tendent à être nettement au-dessous de la ligne droite définie par les autres valeurs, une transformation telle que
conduira en général à un graphique plus proche d’une ligne droite [voir les figures 2b) et 51.
Les parties supérieures des figures 3 à 7 montrent la fonction cumulative de distribution comparée à la fonction de
densité correspondante présentée dans la partie inférïeure de chaque figure.
8

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ISO 5479:1997(F)
@ ISO
Si le graphique de la fonction cumulative de distribution des valeurs observées est tel que celui représenté à la
figure 3 ou 4, la distribution de fréquence correspondante est respectivement un aplatissement en défaut
(platikurtique) ou un aplatissement en excès (leptocurtique).
Les graphiques des fonctions cumulatives de distribution des figures 5 et 6 correspondent à une fonction de
densité à asymétrie respectivement positive et négative.
La figure 7 montre la fonction cumulative de distribution et la fonction de densité de la superposition de deux
fonctions de densité différentes.
8 8
ai ai
a a
2 98 2 98
3
3
U U
:
>f
.-
.-
c t
; a4 ; a4
IL L
QI
c
3
g 5o
lk
16 16
Figure 3 - Fonction de densité avec Figure 4 - Fonction de densité avec
aplatissement en défaut aplatissement en excès

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ISO 5479:1997(F)
@ ISO
8
8
ai
aJ ai
QJ
2 98
2 98
II
u 3
U
z
.-
:
t
.-
c
z a4
2 04
c
c
aJ
u
u
6
k
,; 50
,$ 50
G
t
16
16
2
2
Figure 5 -
Fonction de densité avec asymétrie
Figure 6 -
Fonction de densité avec asymétrie
positive
négative
10

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ISO 5479:1997(F)
@ ISO
8
m
2
2 98
3
U
F
.-
t
; 84
L
a
U
ii
,$ 50
t
16
2
Figure 7 - Superposition de deux fonctions
de densité différentes
6 Tests directionnek
6.1 Généralités
6.1.1 Les tests directionnels considérés ici concernent uniquement les caractéristiques d’asymétrie ou
d’aplatissement de la distribution des observations. Ils sont fondés sur le fait que dans le cas d’une variable
= E(X), le moment centré du troisième ordre est
aléatoire normale X de moyenne p
p3 = E[(~+L)~] = 0 . . .
(2)
le moment centré réduit du troisième ordre est
. . .
(3)
et le moment centré réduit du quatrième ordre est
. . .
(4)
p2 = p4b22 = 3
ou
. . .
p2=EI(X - PI21 (51
. . .
p4=E[(X-p)4B 6)
11

---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 5479:1997(F)
est l’asymétrie de la population et peut être superieure, égale ou inférieure a zero;
1
IF
est l’aplatissement de la population et est toujours positive;
P2
p2 - 3 est l’excès de la population;
+l est toujours exacte.
l’inégalité p2 2 (Jp;)2
6.1.2 Dans un test d’asymétrie, l’hypothèse alternative est soit:
HI : p3 > 0
ou de façon équivalente,
qui signifie une asymétrie positive (voir figure 5), ou
ou de façon équivalente,
1 Jp
qui signifie une asymétrie négative (voir figure 6).
En général, une distribution a asymétrie positive a une dispersion plus élevée pour les valeurs élevées de la
variable que pour les valeurs basses; le cas de l’asymétrie négative est l’inverse.
6.1.3 Dans un test d’aplatissement, l’hypothèse alternative est soit
HI$~> 3
qui signifie un aplatissement en excès (fonction de densité leptocurtique) (voir figure 4), ou
qui signifie un aplatissement en défaut (fonction de densité platicurtique) (voir figure 3).
Comparée à la distribution normale, une distribution à aplatissement en excès tend à avoir une prépondérance de
valeurs de la variable proches à la fois de la moyenne et des deux extrêmes. Le cas d’un aplatissement en défaut
est l’inverse.
6.1.$ L’emploi d’un test directionnel ne se justifie que lorsqu’on dispose d’une information spécifique sur la façon
dont la distribution reelle peut différer de la distribution normale. Cette information peut provenir de la nature
physique des données ou de la nature de la perturbation qui peut affecter le processus générateur.
Par exemple, le fait qu’une variable soit non négative, avec une moyenne proche de zéro par rapport à la valeur de
l’écart-type, peut être une raison physique de l’asymétrie positive de la distribution réelle. De même, toute
perturbation dans un processus générateur qui produit un mélange de populations normales de même moyenne
mais de variantes différentes conduit à une distribution non normale avec p2 > 3.
6.1.5 Dans tous les cas, il convient que le choix d’un test directionnel soit fondé sur des considérations générales
sur la nature des observations ou du processus qui les produit et non sur la forme particulière de la distribution des
valeurs observées. Dans ce dernier cas, seul le résultat d’un test omnibus peut être considéré comme objectif.

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@ ISO
ISO 5479:1997(F)
6.1.6 Si XI, x2, . . . . xn désignent la série des observations, alors:
. . .
(7)
1
- $
=-
. . .
Cxj (8)
"i n
c
i
avec j = 2, 3,4
et les statistiques de test pour l’asymétrie et l’aplatissement respectivement sont les quantités.
m3
=-
. . .
(9)
bl
lr
312
m2
et
m4
=-
. . .
(10)
b2
2
m2
6.2 Test directionnel d’asymétrie utilisant &
Ce test est applicable pour ~1 3 8; cependant, pour des raisons pratiques, la table 8 est limitée à I-Z G 5000.
Si l’hypothèse alternative consiste en une asymétrie positive, il convient que le test ne soit conduit que si m3 > 0.
D’autre part, si l’hypothèse alternative consiste en une asymétrie négative, il convient que le test ne soit conduit
que si n-23 < 0.
Dans les deux cas d’asymétrie, la conclusion est en faveur du rejet de l’hypothèse nulle au niveau de signification a
si la statistique I&i excède le quantile d’ordre p avec p = 1- a.
La table 8 montre pour cette statistique de test le quantile d’ordre p pour p = l- a où a = 0,05 et a = 0,Ol
et pour les tailles d’échantillon YI =
8( 1)10,12,15(5)50(10)100(25)200(50)1000(200)2000(500)5000.
EXEMPLE 1
Un exemple d’emploi du test directionnel
pour l’asymétrie utilisant Jbi est le suivant. La table 2 donne 50
mesures indépendantes de la profondeur de l’aubier dans des pièces de bois destinées à leur utilisation comme
poteaux télégraphiques. Comme la profondeur de l’aubier est une caractéristique avec des valeurs qui sont
essentiellement non négatives voisines de zéro, on peut supposer une asymétrie positive. II est donc nécessaire
de pratiquer le test directionnel approprié avec l’hypothèse alternative
Ainsi, on tire des valeurs observées de la table 2:
‘- (1,25 + 1,35 + o.o -R- 5,10)/50 = 2,873
2
= [(If25 - 2,873)2 -e . . . + (5,lO- 2,873)2]/50 = 0,937 921
rn2
= [(1,25 - 2,873)3 + . . .
+ (5,lO - 2,873)3]/50 = 0,254 559
m3
13

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D’où
m3
= 3/2 = 0,280
bl
Jr
m2
1 - a = 0,95, et IZ = 50, la valeur critique de la statistique
Pour le niveau de signification a = 0,05, c’est-à-dire p =
du test est 0,53 (voir table 8). Cette valeur est supérieure à la valeur calculée I&i; ainsi, l’hypothèse nulle d’une
distribution normale ne peut être rejetée au niveau de signification choisi.
Table 2 - Profondeur de l’aubier
2,40 3,00 3,80 4,70
1,85
1,95 2,55 3,05 3,90 5,lO
NOTE - Série arrangée selon les valeurs non
décroissantes de 50 observations.
6.3 Test directionnel d’aplatissement utilisant b2
Ce test est applicable pour ~2 a 8; cependant, pour des raisons pratiques, la table 9 est limitée à yt 6 5 000.
Dans un test d’aplatissement en excès, l’hypothèse alternative est:
HI: & > 3
L’hypothèse nulle devra être rejetée au niveau de signification prédéterminé de, par exemple, a = 0,05 ou O,Ol, si
la valeur calculée &2 excède la valeur critique de la statistique du test correspondant au quantile d’ordre p pour
p= 1 -a=0,95oup= 1 - a = 0,99 et pour la taille yt de l’échantillon.
Dans un test d’aplatissement en défaut, l’hypothèse alternative est
HI: p2 < 3
L’hypothèse nulle devra être rejetée au niveau de signification prédéterminée de, par exemple, a = 0,05 ou 0,Ol si
la valeur calculée &2 est inférieure à la valeur critique de la statistique de test correspondant au quantile d’ordre p
=0,05oup=a= 0,Ol et pour la taille ~1 de l’échant
...